6. В равнобедренной трапеции диагональ, равная 20 см, составляет с нижним основанием угол 30°, а с боковой стороной — угол 90°. Найдите площадь трапеции.

Опустим высоту из конца диагонали на нижнее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см и углом 30° при основании.

1. Высота трапеции равна \(20\sin 30°=10\) см.
2. Горизонтальная проекция диагонали равна \(20\cos 30°=10\sqrt{3}\) см.
3. В равнобедренной трапеции эта проекция диагонали равна полусумме оснований, то есть средней линии. Поэтому площадь равна произведению средней линии на высоту: \(S=10\sqrt{3}\cdot10=100\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(100\sqrt{3}\) см².