5. В треугольнике ABC известно: a = 8, b = 12, sin γ = 0,4. Найдите сторону c, если угол γ — тупой.

Так как угол \(\gamma\) тупой, его косинус отрицателен. По тождеству \(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1\):

\(\cos\gamma=-\sqrt{1-0.4^2}=-\sqrt{0.84}=-\frac{\sqrt{21}}5\).

По теореме косинусов:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\left(-\frac{\sqrt{21}}5\right)=208+\frac{192\sqrt{21}}5\).

Следовательно, \(c=\sqrt{208+\frac{192\sqrt{21}}5}\approx19.24\).

Ответ: \(c=\sqrt{208+\frac{192\sqrt{21}}5}\approx19.24\).