5. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка M, на стороне BC — точка K так, что AM : MB = 2 : 3, BK : KC = 4 : 5. Найдите площадь треугольника BMK, если площадь треугольника ABC равна 90.

Поскольку \(AM:MB=2:3\), отрезок \(BM\) составляет \(\dfrac{3}{5}\) стороны \(BA\). Аналогично, \(BK:KC=4:5\), значит, \(BK\) составляет \(\dfrac{4}{9}\) стороны \(BC\).

Треугольники BMK и BAC имеют общий угол при вершине B, поэтому отношение их площадей равно произведению отношений соответствующих сторон:

\(\dfrac{S_{BMK}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BA}\cdot\dfrac{BK}{BC}=\dfrac35\cdot\dfrac49=\dfrac4{15}\).

Следовательно, \(S_{BMK}=90\cdot\dfrac4{15}=24\).

Ответ: 24.