5. В треугольнике ABC сторона AC = 64, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Обозначим \(MH = x\). Так как \(BM\) — медиана, то \(AM = MC = 32\).

Поскольку \(BH\) — высота, треугольник \(BHC\) прямоугольный. Условие \(BC = BM\) даёт:

\(BC^2 = BH^2 + HC^2\), \(BM^2 = BH^2 + MH^2\).

Так как \(BC = BM\), то \(HC^2 = MH^2\), значит \(HC = MH\).

Тогда \(AC = AM + MH + HC = 32 + 2MH = 64\), откуда \(MH = 16\).

Следовательно, \(AH = AM + MH = 32 + 16 = 48\).

Ответ: 48.