5. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол B:
• ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°.
• BD — биссектриса угла B, значит, делит его пополам:
• ∠ABD = ∠DBC = ∠B / 2 = 80° / 2 = 40°.
• BH — высота, проведенная из вершины B к стороне AC. Треугольник ABH — прямоугольный (∠AHB = 90°).
• В треугольнике ABH найдем угол ABH:
• ∠ABH = 180° - ∠A - ∠AHB = 180° - 40° - 90° = 50°.
• Искомый угол между высотой BH и биссектрисой BD — это угол ∠HBD.
• ∠HBD = ∠ABH - ∠ABD = 50° - 40° = 10°.

Ответ: 10°