5. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившаяся утром, держится не менее двух дней. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 октября пошёл дождь в Волшебной стране, погода не хорошая. Найдите вероятность того, что 8 октября в Волшебной стране будет отличная погода.

Обозначим через \(p_n\) вероятность хорошей погоды через \(n\) дней после 5 октября. 5 октября погода плохая, поэтому \(p_0=0\).

Если сегодня погода хорошая, завтра она останется хорошей с вероятностью \(0.7\). Если сегодня погода плохая, завтра хорошая погода установится с вероятностью \(0.3\). Поэтому

\[p_{n+1}=0.7p_n+0.3(1-p_n)=0.3+0.4p_n.\]

Последовательно:

\[p_1=0.3,\qquad p_2=0.3+0.4\cdot0.3=0.42,\]

\[p_3=0.3+0.4\cdot0.42=0.468.\]

От 5 до 8 октября проходит три дня, поэтому искомая вероятность равна \(p_3\).

Ответ: \(0.468\).