5. Велосипедист половину времени всего движения ехал со скоростью 20 км/ч, половину оставшегося пути со скоростью 15 км/ч, а последний участок — со скоростью 6 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?

Решение:

Пусть общее время движения равно \( t \), а весь путь равен \( S \).

1. Время движения с первой скоростью: \( t_1 = \frac{t}{2} \).
2. Расстояние, пройденное с первой скоростью: \( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 20 \text{ км/ч} \cdot \frac{t}{2} = 10t \text{ км} \).
3. Оставшееся время: \( t_{ост} = t - t_1 = t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2} \).
4. Оставшийся путь: \( S_{ост} = S - S_1 = S - 10t \).
5. Половина оставшегося пути: \( \frac{S_{ост}}{2} = \frac{S - 10t}{2} \).
6. Время движения со второй скоростью: \( t_2 = \frac{(S-10t)/2}{15} = \frac{S-10t}{30} \).
7. Расстояние, пройденное со второй скоростью: \( S_2 = 15 \cdot t_2 = 15 \cdot \frac{S-10t}{30} = \frac{S-10t}{2} \).
8. Последний участок пути: \( S_3 = \frac{S_{ост}}{2} = \frac{S-10t}{2} \).
9. Время движения с третьей скоростью: \( t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{(S-10t)/2}{6} = \frac{S-10t}{12} \).
10. Общее время: \( t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{t}{2} + \frac{S-10t}{30} + \frac{S-10t}{12} \).
11. Приравниваем общее время: \( t = \frac{t}{2} + \frac{S-10t}{30} + \frac{S-10t}{12} \).
12. \( \frac{t}{2} = \frac{S-10t}{30} + \frac{S-10t}{12} \).
13. Умножим на 60: \( 30t = 2(S-10t) + 5(S-10t) \).
14. \( 30t = 2S - 20t + 5S - 50t \).
15. \( 30t = 7S - 70t \).
16. \( 100t = 7S \) => \( S = \frac{100}{7}t \).
17. Средняя скорость: \( v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{(100/7)t}{t} = \frac{100}{7} \text{ км/ч} \).

Ответ: \( \frac{100}{7} \text{ км/ч} \).