5. Велосипедист проехал 5 км по лесной дороге и 7 км по шоссе, затратив на весь путь 1 ч. По шоссе он ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем по лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим скорость велосипедиста на лесной дороге как $$v$$ км/ч. Тогда скорость на шоссе будет $$(v+4)$$ км/ч.
2. Шаг 2: Время, затраченное на лесную дорогу, равно $$t_1 = \frac{5}{v}$$ ч.
3. Шаг 3: Время, затраченное на шоссе, равно $$t_2 = \frac{7}{v+4}$$ ч.
4. Шаг 4: Общее время в пути составляет 1 час, поэтому $$t_1 + t_2 = 1$$.
   \( \frac{5}{v} + \frac{7}{v+4} = 1 \)
5. Шаг 5: Приведем уравнение к общему знаменателю \( v(v+4) \).
   \( 5(v+4) + 7v = v(v+4) \)
   \( 5v + 20 + 7v = v^2 + 4v \)
6. Шаг 6: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
   \( v^2 + 4v - 5v - 7v - 20 = 0 \)
   \( v^2 - 8v - 20 = 0 \)
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$.
   $$D = (-8)^2 - 4 · 1 · (-20) = 64 + 80 = 144$$.
   \( √{D} = 12 \).
8. Шаг 8: Найдем корни уравнения.
   \( v_1 = \frac{-(-8) + 12}{2 · 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
   \( v_2 = \frac{-(-8) - 12}{2 · 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
9. Шаг 9: Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень.

Ответ: 10 км/ч