Контрольные задания
Вопрос:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x + 3 \), \( y = -x^2 + 8x - 7 \)

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно сначала найти точки их пересечения, а затем вычислить определённый интеграл разности функций между этими точками.

  1. Найдем точки пересечения, приравняв уравнения функций:
\( x + 3 = -x^2 + 8x - 7 \)
\( x^2 + x - 8x + 3 + 7 = 0 \)
\( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \). Корни:

\( x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
  1. Теперь вычислим площадь как определённый интеграл разности верхнего и нижнего графиков от \( x_1 \) до \( x_2 \). Определим, какая функция находится выше на интервале \( [2, 5] \). Возьмем пробную точку, например, \( x=3 \):
\( y_1 = 3 + 3 = 6 \)
\( y_2 = -(3)^2 + 8(3) - 7 = -9 + 24 - 7 = 8 \)

Значит, \( y = -x^2 + 8x - 7 \) находится выше.

  1. Вычислим площадь \( S \):
\( S = \int_{2}^{5} ((-x^2 + 8x - 7) - (x + 3)) dx \)
\( S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \)
\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_{2}^{5} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \bigg(-\frac{5^3}{3} + \frac{7 \times 5^2}{2} - 10 \times 5\bigg) - \bigg(-\frac{2^3}{3} + \frac{7 \times 2^2}{2} - 10 \times 2\bigg) \)
\( S = \bigg(-\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50\bigg) - \bigg(-\frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 20\bigg) \)
\( S = \bigg(-\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50\bigg) - \bigg(-\frac{8}{3} + 14 - 20\bigg) \)
\( S = -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 + \frac{8}{3} - 14 + 20 \)
\( S = (-\frac{125}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{175}{2}) + (-50 - 14 + 20) \)
\( S = -\frac{117}{3} + \frac{175}{2} - 44 \)
\( S = -39 + \frac{175}{2} - 44 \)
\( S = \frac{175}{2} - 83 \)
\( S = \frac{175}{2} - \frac{166}{2} \)
\( S = \frac{9}{2} \)

Площадь равна \( 4.5 \) квадратных единиц.

Ответ: \( \frac{9}{2} \) или 4,5

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ
Подать жалобу Правообладателю

Похожие