5. Вычислите: 1) 4⁶⋅2⁹ / 32⁴; 2) (2⅔)⁵ ⋅ (3/8)⁶.

Решение:

1. 1) \( \frac{4^6 \cdot 2^9}{32^4} \)
• Представим все основания в виде степени двойки: \( 4 = 2^2 \), \( 32 = 2^5 \).
• \( \frac{(2^2)^6 \cdot 2^9}{(2^5)^4} = \frac{2^{12} \cdot 2^9}{2^{20}} \).
• Сложим степени в числителе: \( \frac{2^{12+9}}{2^{20}} = \frac{2^{21}}{2^{20}} \).
• Вычтем степени: \( 2^{21-20} = 2^1 = 2 \).
2. 2) \( (2\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{8})^6 \)
• Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 2\frac{2}{3} = \frac{2\cdot3+2}{3} = \frac{8}{3} \).
• Выражение примет вид: \( (\frac{8}{3})^5 \cdot (\frac{3}{8})^6 \).
• Запишем \( (\frac{8}{3})^5 \) как \( \frac{8^5}{3^5} \) и \( (\frac{3}{8})^6 \) как \( \frac{3^6}{8^6} \).
• \( \frac{8^5}{3^5} \cdot \frac{3^6}{8^6} = \frac{8^5 \cdot 3^6}{3^5 \cdot 8^6} \).
• Сократим степени: \( \frac{3^{6-5}}{8^{6-5}} = \frac{3^1}{8^1} = \frac{3}{8} \).

Ответ: 1) 2; 2) 3/8.