5*. Выпуская в день на 2 станка больше, чем намечено по плану, завод выпустил 80 станков за 2 дня до срока. Сколько станков в день выпускал завод?

5. Решение задачи:

Пусть x – количество станков, которое завод выпускал по плану в день.

Пусть N – количество дней, за которое завод должен был выпустить станки по плану.

Тогда общее количество станков по плану: N * x = 80.

По условию задачи, завод выпускал на 2 станка больше в день, то есть (x + 2) станка в день.

Он сделал это за 2 дня до срока, то есть за (N - 2) дня.

Общее количество выпущенных станков: (x + 2) * (N - 2) = 80.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. N * x = 80
2. (x + 2) * (N - 2) = 80

Выразим N из первого уравнения: N = 80 / x.

Подставим это во второе уравнение:

• (x + 2) * (80/x - 2) = 80
• Раскроем скобки:
• x * (80/x) - x * 2 + 2 * (80/x) - 2 * 2 = 80
• 80 - 2x + 160/x - 4 = 80
• -2x + 160/x - 4 = 0
• Умножим все уравнение на x (при условии, что x ≠ 0):
• -2x2 + 160 - 4x = 0
• Разделим на -2 для упрощения:
• x2 + 2x - 80 = 0

Решим это квадратное уравнение. Используем теорему Виета:

• Сумма корней: x₁ + x₂ = -2
• Произведение корней: x₁ * x₂ = -80
• Подбираем корни: 8 и -10.
• Проверяем: 8 + (-10) = -2 (верно); 8 * (-10) = -80 (верно).

Поскольку количество станков не может быть отрицательным, выбираем положительный корень: x = 8.

Итак, по плану завод выпускал 8 станков в день.

Проверим: Если по плану выпускали 8 станков в день, то 80 станков выпустили бы за 80 / 8 = 10 дней.

Если завод выпускал на 2 станка больше (8 + 2 = 10 станков в день), то 80 станков он выпустил за 80 / 10 = 8 дней.

8 дней – это на 2 дня раньше, чем 10 дней. Условие выполняется.

Ответ: Завод выпускал 8 станков в день.