5. * Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, \(BM\perp AD\), поэтому треугольник ABM прямоугольный, а \(\angle ABM=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла \(30^\circ\), значит, гипотенуза \(AB=2AM=8\) см. Все стороны ромба равны, поэтому \(AD=8\) см и \(MD=AD-AM=8-4=4\) см.

В треугольнике ABM катет \(BM=AM\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) см. Треугольник BMD прямоугольный, поэтому

\(BD=\sqrt{BM^2+MD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8\) см.

Ответ: 8 см.