5. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания. б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

Решение:

Дано:

• Цилиндр
• Высота (h) = 5
• Радиус основания (r) = 10

а) Доказательство:

1. Площадь боковой поверхности цилиндра (Sбок):

   Sбок = 2πrh = 2 * π * 10 * 5 = 100π

2. Площадь основания цилиндра (Sосн):

   Sосн = πr² = π * 10² = 100π

3. Сравнение:

   Sбок = 100π и Sосн = 100π. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.

б) Площадь сечения:

1. Описание сечения:

   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник.

2. Найдем размеры прямоугольника:

   Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть h = 5.

   Другая сторона прямоугольника — это хорда основания, лежащая на расстоянии 6 от центра. Обозначим эту сторону как d.

   Рассмотрим основание цилиндра (круг). Проведем радиус (r=10) и отрезок, равный расстоянию от центра до хорды (6). Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник с половиной хорды (d/2) как другим катетом. По теореме Пифагора:

   (d/2)² + 6² = 10²

   (d/2)² + 36 = 100

   (d/2)² = 100 - 36

   (d/2)² = 64

   d/2 = √64 = 8

   d = 2 * 8 = 16

3. Найдем площадь сечения (Sсеч):

   Sсеч = высота * длина хорды = h * d = 5 * 16 = 80

Ответ: а) Доказано. б) 80