Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
- Правильная треугольная призма АВСА1В1С1
- АВ = 4√2
- AA1 = 4
- М — середина ВС
а) Доказательство перпендикулярности В1С и С1М:
- Рассмотрим векторы:
Для доказательства перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов В₁С и С₁М. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.
- Выберем систему координат:
Поместим начало координат в точку С. Ось Cx направим вдоль ребра CB, ось Cy — вдоль ребра CC1, ось Cz — вдоль ребра CA.
Найдем координаты вершин:
Призма правильная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник. Найдем длину стороны основания AB = BC = AC = 4√2.
Так как М — середина ВС, то CM = MB = (4√2)/2 = 2√2.
Координаты вершин:
- C = (0, 0, 0)
- B = (4√2, 0, 0)
- A = (0, 4√2, 0) (т.к. угол ACB = 90 градусов для равностороннего треугольника, но здесь неправильно, нужно найти координаты A)
Корректировка системы координат:
Поместим начало координат в точку С. Ось Cx направим вдоль ребра CA, ось Cy — вдоль ребра CB, ось Cz — вдоль ребра CC1.
Найдем координаты вершин:
В основании лежит равносторонний треугольник. Если AC = CB = AB = 4√2, то это не верно для правильной треугольной призмы (основание - правильный треугольник). В правильной треугольной призме основанием является равносторонний треугольник. Пусть сторона основания = a.
Тогда AB = BC = AC = a = 4√2.
M — середина BC. Значит, BM = MC = a/2 = 2√2.
Выберем систему координат:
Начало координат в точке C. Ось Cx — вдоль CB, ось Cy — вдоль перпендикуляра к CB в плоскости основания (например, к медиане из C), ось Cz — вдоль CC1.
Проще выбрать систему координат, исходя из ребер:
Начало координат в точке C. Ось Cx — вдоль ребра CB, ось Cy — вдоль ребра CA, ось Cz — вдоль ребра CC1. Это подходит, если угол ACB = 90 градусов, что не так для равностороннего треугольника.
Система координат, основанная на гранях:
Поместим начало координат в точку C1. Ось C1x — вдоль C1B1, ось C1y — вдоль C1A1, ось C1z — вдоль C1C.
Найдем координаты вершин:
C1 = (0, 0, 0)
B1 = (4√2, 0, 0) (так как A1B1 = 4√2)
A1 = (0, 4√2, 0)
C = (0, 0, -4) (так как AA1 = 4)
B = (4√2, 0, -4)
A = (0, 4√2, -4)
M — середина BC. Координаты M = ((4√2+0)/2, (0+4√2)/2, (-4+-4)/2) = (2√2, 2√2, -4).
Вектор В1С:
В₁С = C - B1 = (0 - 4√2, 0 - 0, -4 - 0) = (-4√2, 0, -4)
Вектор С1М:
С₁М = M - C1 = (2√2 - 0, 2√2 - 0, -4 - 0) = (2√2, 2√2, -4)
Скалярное произведение:
В₁С · С₁М = (-4√2)(2√2) + (0)(2√2) + (-4)(-4)
= (-8 * 2) + 0 + 16
= -16 + 16 = 0
Вывод: Поскольку скалярное произведение векторов В₁С и С₁М равно нулю, то прямые В1С и С1М перпендикулярны.
б) Угол между прямой С1М и плоскостью грани АВВ1A1:
- Определим плоскость АВВ1A1:
Эта плоскость является одной из боковых граней призмы.
- Найдем векторы, связанные с плоскостью:
Вектор С₁М = (2√2, 2√2, -4) (из предыдущего пункта).
Для плоскости АВВ1A1, выберем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Например, вектор В₁А1 и вектор В₁В.
Вектор В₁А1 = A1 - B1 = (0 - 4√2, 4√2 - 0, 0 - 0) = (-4√2, 4√2, 0)
Вектор В₁В = B - B1 = (4√2 - 4√2, 0 - 0, -4 - 0) = (0, 0, -4)
- Найдем нормальный вектор к плоскости АВВ1A1 (n):
n = В₁А1 × В₁В
̃ = |⌀ ⌈ ⌋|
|-4√2 4√2 0 |
| 0 0 -4 |
̃ = i( (4√2)*(-4) - 0*0 ) - j( (-4√2)*(-4) - 0*0 ) + k( (-4√2)*0 - (4√2)*0 )
̃ = i(-16√2) - j(16√2) + k(0)
n = (-16√2, -16√2, 0)
Для удобства можно взять нормальный вектор n' = (√2, √2, 0) (разделили на -16).
- Найдем угол между вектором С1М и нормальным вектором n':
cos(θ) = (С₁М · n') / (|С₁М| * |n'|)
С₁М · n' = (2√2)(√2) + (2√2)(√2) + (-4)(0) = (2*2) + (2*2) + 0 = 4 + 4 = 8
|С₁М| = √((2√2)² + (2√2)² + (-4)²) = √(8 + 8 + 16) = √32 = 4√2
|n'| = √( (√2)² + (√2)² + 0² ) = √(2 + 2 + 0) = √4 = 2
cos(θ) = 8 / (4√2 * 2) = 8 / (8√2) = 1/√2
θ = arccos(1/√2) = 45°
- Найдем угол между прямой и плоскостью:
Угол между прямой и плоскостью (φ) равен 90° минус угол между прямой и нормалью к плоскости (θ).
φ = 90° - θ = 90° - 45° = 45°
Ответ: а) Доказано. б) 45°
