5. Выясните, имеет ли решения система, и если да, то сколько: {5x - y = 11, -10x + 2y = -22}

Решение:

Для определения количества решений системы линейных уравнений сравним коэффициенты при x, y и свободные члены.

Система имеет вид:

\( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \)

В данном случае:

\( a_1 = 5, b_1 = -1, c_1 = 11 \)

\( a_2 = -10, b_2 = 2, c_2 = -22 \)

Проверим соотношение коэффициентов:

1. \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \)
2. \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \)
3. \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2} \)

Так как \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), прямые, соответствующие уравнениям системы, совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений.