5. \((x-1)\log_{x+3}(x+2)\cdot\log_2(x+3)^2\leq0\)

Область допустимых значений: \(x+2>0\), \(x+3>0\), \(x+3\neq1\); вместе это даёт \(x>-2\). При таких \(x\) имеем \(x+3>1\), поэтому \(\log_2((x+3)^2)>0\).

Остаётся решить \((x-1)\log_{x+3}(x+2)\leq0\). Основание логарифма больше 1, поэтому логарифм отрицателен при \(-2<x<-1\), равен нулю при \(x=-1\) и положителен при \(x>-1\). На интервале \((-2;-1)\) оба множителя отрицательны, так что произведение положительно. При \(x=-1\) и \(-1<x\leq1\) неравенство выполняется.

Ответ: \(x\in[-1;1]\).