5) √x-1 + √x+2 = 4

Решение:

• Данное уравнение является иррациональным.
• Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба выражения под корнями должны быть неотрицательными:
• \[ x-1 ≥ 0 \implies x ≥ 1 \]
• \[ x+2 ≥ 0 \implies x ≥ -2 \]
• Объединяя условия, получаем ОДЗ: $$x ≥ 1$$.
• Шаг 2: Перенесем один из корней в правую часть уравнения:
• \[ \sqrt{x-1} = 4 - \sqrt{x+2} \]
• Шаг 3: Возведем обе части уравнения в квадрат. Необходимо учесть, что $$4 - \sqrt{x+2} ≥ 0$$, что означает $$\sqrt{x+2} ≤ 4$$, или $$x+2 ≤ 16$$, то есть $$x ≤ 14$$. Объединяя с ОДЗ $$x ≥ 1$$, получаем $$1 ≤ x ≤ 14$$.
• \[ (\sqrt{x-1})^2 = (4 - \sqrt{x+2})^2 \]\[ x-1 = 16 - 8\sqrt{x+2} + (x+2) \]\[ x-1 = 16 - 8\sqrt{x+2} + x+2 \]
• Шаг 4: Упростим полученное уравнение и выделим корень:
• \[ x-1 = 18+x - 8\sqrt{x+2} \]\[ x - 1 - 18 - x = - 8\sqrt{x+2} \]\[ -19 = - 8\sqrt{x+2} \]\[ 19 = 8\sqrt{x+2} \]
• Шаг 5: Возведем обе части уравнения в квадрат:
• \[ 19^2 = (8\sqrt{x+2})^2 \]\[ 361 = 64(x+2) \]\[ 361 = 64x + 128 \]
• Шаг 6: Решим полученное линейное уравнение:
• \[ 361 - 128 = 64x \]\[ 233 = 64x \]
• \[ x = \frac{233}{64} \]
• Шаг 7: Проверим полученный корень с учетом ОДЗ ($$1 ≤ x ≤ 14$$).
• $$x = 233/64 ≈ 3.64$$. Это значение удовлетворяет условию $$1 ≤ x ≤ 14$$.
• Подставим в исходное уравнение:
• \[ \sqrt{\frac{233}{64}-1} + \sqrt{\frac{233}{64}+2} = \sqrt{\frac{233-64}{64}} + \sqrt{\frac{233+128}{64}} = \sqrt{\frac{169}{64}} + \sqrt{\frac{361}{64}} = \frac{13}{8} + \frac{19}{8} = \frac{32}{8} = 4 \]
• Равенство верно.

Ответ: 233/64