5. XYZ — треугольник, ∠Y=60°. По рисунку XY=6, XZ=7. Найдите площадь треугольника.

Для площади найдём сторону YZ=x по теореме косинусов. Сторона XZ=7 лежит напротив угла Y:

\(7^2=6^2+x^2-2\cdot6\cdot x\cdot\cos60^\circ\).

\(49=36+x^2-6x\), откуда \(x^2-6x-13=0\). Положительный корень: \(x=3+\sqrt{22}\).

Теперь используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

\(S=\frac12\cdot XY\cdot YZ\cdot\sin Y=\frac12\cdot6\cdot(3+\sqrt{22})\cdot\sin60^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}(3+\sqrt{22})\).

Ответ: \(S=\frac{3\sqrt3}{2}(3+\sqrt{22})\).