5. Являются ли равносильными уравнения: 1) $x^2=4$ и $x^2+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x-6}+4$; 2) $x^2=4$ и $x^2+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-2}+4$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Являются ли равносильными уравнения: 1) $x^2=4$ и $x^2+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x-6}+4$; 2) $x^2=4$ и…$ Фото задания

5. Являются ли равносильными уравнения: 1) $x^2=4$ и $x^2+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x-6}+4$; 2) $x^2=4$ и $x^2+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-2}+4$?

Accepted Answer

1) В первом уравнении корни $x=-2$ и $x=2$. Во втором уравнении требуется $x\ne6$. При допустимых значениях сокращаем одинаковое слагаемое $\frac{1}{x-6}$ в обеих частях и получаем $x^2=4$. Оба корня допустимы, поэтому множества решений совпадают.

2) В первом уравнении корни $x=-2$ и $x=2$. Во втором требуется $x\ne2$. После сокращения одинаковых слагаемых получаем $x^2=4$, но корень $x=2$ исключён из-за ограничения области определения. Значит, второе уравнение имеет только корень $-2$, и множества решений не совпадают.

Ответ: 1) равносильны; 2) не равносильны.

5. Являются ли равносильными уравнения: 1) \(x^2=4\) и \(x^2+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x-6}+4\); 2) \(x^2=4\) и \(x^2+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-2}+4\)?

Ответ: