5. Задание повышенной сложности (аналог №23 ОГЭ). В треугольнике ABC стороны равны AB = 5, BC = 7, AC = 8. Найдите длину медианы BM, проведённой к стороне AC.

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам, поэтому \(AM=MC=\frac{8}{2}=4\).

Применим теорему Аполлония для медианы к стороне AC: \(AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2)\).

Подставим значения: \(5^2+7^2=2(BM^2+4^2)\).

\(25+49=2BM^2+32\), откуда \(2BM^2=42\) и \(BM^2=21\).

Длина медианы положительна, значит \(BM=\sqrt{21}\).

Ответ: \(\sqrt{21}\).