502. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) (x − √(xy) + y)/(√x − √y); б) (9 + 3√a + a)/(3 + √a); в) (1 − 2√x + 4x)/(1 − 2√x); г) (a²b + 2a√b + 4)/(a√b + 2).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Положим u = √x, v = √y. Числитель становится u² − uv + v², а знаменатель — u − v. Умножим на сопряжённое: (u² − uv + v²)(u + v)/(u² − v²). Это даёт (x − √(xy) + y)(√x + √y)/(x − y).
б) Подстановка t = √a даёт в числителе t² + 3t + 9. Умножим на 3 − t: знаменатель равен 9 − a, а числитель после раскрытия скобок равен 27 − a√a. Ответ: (27 − a√a)/(9 − a).
в) Положим t = √x. Умножаем дробь на сопряжённое к знаменателю 1 + 2t. Получаем знаменатель 1 − 4x, а числитель (1 − 2t + 4t²)(1 + 2t) = 1 + 8t³. Ответ: (1 + 8x√x)/(1 − 4x).
г) Числитель — квадрат: (a√b + 2)². Сокращаем на знаменатель a√b + 2. Ответ: a√b + 2.

Ответ: