51. Упростить: 1) ∛((x − 2)³), если а) x ≥ 2; б) x < 2; 2) √((3 − x)⁶), если а) x ≤ 3; б) x > 3; 3) ⁴√((x + 6)⁴) + √((x − 3)²), если −1 < x < 2; 4) ⁶√((2x + 1)⁶) − ⁴√((4 + x)⁴), если −3 < x < −1.

1. Кубический корень нечётной степени сокращается с кубом: \(\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2\). Это верно при обоих указанных условиях.

   а) \(x-2\); б) \(x-2\).

2. \(\sqrt{(3-x)^6}=|3-x|^3\), поскольку квадратный корень из квадрата равен модулю.

   а) При \(x\le 3\): \(|3-x|^3=(3-x)^3\).

   б) При \(x>3\): \(|3-x|^3=(x-3)^3\).

3. Корни чётной степени дают модули:

   \(\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}=|x+6|+|x-3|.\)

   На промежутке \(-1<x<2\) имеем \(x+6>0\) и \(x-3<0\), поэтому \(x+6+3-x=9\).

4. \(\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}=|2x+1|-|x+4|.\)

   При \(-3<x<-1\) выражение \(2x+1<0\), а \(x+4>0\). Следовательно, \(-(2x+1)-(x+4)=-3x-5\).

Ответ: 1) а) \(x-2\); б) \(x-2\). 2) а) \((3-x)^3\); б) \((x-3)^3\). 3) 9. 4) \(-3x-5\).