54. Упростить выражение: 1) (√a − √b)/(⁴√a − ⁴√b) − (√a + ⁴√(ab))/(⁴√a + ⁴√b); 2) (a − b)/(∛a − ∛b) − (a + b)/(∛a + ∛b); 3) ((a + b)/(∛a + ∛b) − ∛(ab)) : (∛a − ∛b)².

1. Положим \(x=\sqrt[4]{a}\), \(y=\sqrt[4]{b}\). Тогда \(\sqrt{a}=x^2\), \(\sqrt{b}=y^2\), а \(\sqrt[4]{ab}=xy\). При допустимых значениях знаменателей:

   \(\dfrac{x^2-y^2}{x-y}-\dfrac{x^2+xy}{x+y}=x+y-x=y=\sqrt[4]{b}.\)

   Для исходного выражения требуется \(a,b\ge0\) и \(a\ne b\).

2. Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда:

   \(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}-\dfrac{x^3+y^3}{x+y}=(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=2xy=2\sqrt[3]{ab}.\)

   Исходные знаменатели должны быть ненулевыми: \(a\ne b\) и \(a\ne-b\).

3. Пусть \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда \(\sqrt[3]{ab}=xy\), и при ненулевых знаменателях:

   \(\left(\dfrac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):(x-y)^2\)

   \(=(x^2-xy+y^2-xy):(x-y)^2=(x-y)^2:(x-y)^2=1.\)

   Требуется, чтобы \(a\ne b\) и \(a\ne-b\).

Ответ: 1) \(\sqrt[4]{b}\); 2) \(2\sqrt[3]{ab}\); 3) 1.