53. Доказать, что: 1) √(4 + 2√3) − √(4 − 2√3) = 2; 2) ∛(9 + √80) + ∛(9 − √80) = 3.

1. Заметим, что \(4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2\), а \(4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2\). Поскольку \(\sqrt{3}-1>0\), получаем:

   \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2.\)

2. Обозначим \(u=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\), \(v=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\). Тогда \(uv=\sqrt[3]{81-80}=1\), а \(u^3+v^3=18\). Используем формулу \((u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)\). При \(s=u+v\) имеем \(s^3=18+3s\), то есть \(s^3-3s-18=0\). Так как \(3^3-3\cdot3-18=0\), а функция \(s^3-3s-18\) строго возрастает, следует, что \(s=3\).

Итак, оба равенства доказаны.