510. Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(O\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(BO=OD\).

Прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(AOD\) имеют общий катет \(AO\), равные катеты \(BO=OD\) и прямые углы. Следовательно, они равны, поэтому \(AB=AD\).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(AD=BC\). Значит, все четыре стороны равны, и параллелограмм является ромбом.

б) Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам: \(\angle BAC=\angle CAD\). В параллелограмме \(BC\parallel AD\), поэтому \(\angle BCA=\angle CAD\).

Следовательно, \(\angle BAC=\angle BCA\), значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AB=BC\). В параллелограмме \(BC=AD\), поэтому \(AB=AD\). Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, все его стороны равны.

Вывод: параллелограмм является ромбом в обоих случаях.