512. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Например, возьмём четырёхугольник с вершинами \(A(1;0)\), \(B(0;0.5)\), \(C(-1;0)\), \(D(0;-1.5)\). Его диагонали перпендикулярны и имеют одинаковую длину \(2\), но четырёхугольник не является квадратом.

б) Нет. Если диагонали имеют общую середину, четырёхугольник является параллелограммом. Перпендикулярные диагонали делают его ромбом, но ромб не обязательно является квадратом.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник является параллелограммом. Равенство диагоналей означает, что это прямоугольник, а перпендикулярность диагоналей — что это ромб. Параллелограмм, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом, — квадрат.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.