510. Докажите признаки ромба. Параллелограммом является ромб, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и AC ⟂ BD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. Треугольники AOB и COB прямоугольные, имеют общий катет OB и равные катеты AO и OC. Следовательно, AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

б) Пусть диагональ AC делит угол A параллелограмма ABCD пополам, то есть ∠BAC = ∠CAD. Так как AB ∥ CD, ∠BAC = ∠ACD (накрест лежащие углы). Значит, ∠CAD = ∠ACD, и в треугольнике ACD равны противоположные стороны CD и AD. В параллелограмме AD = BC, AB = CD, поэтому все четыре стороны равны. Следовательно, ABCD — ромб.