512. Является ли четырёхугольник квадратом, если: а) равны и взаимно перпендикулярны его диагонали; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Равные перпендикулярные диагонали сами по себе не гарантируют, что четырёхугольник — параллелограмм. Например, можно расположить вершины так, что диагонали пересекаются не в своих серединах.

б) Нет. Если диагонали имеют общую середину, четырёхугольник является параллелограммом; если его диагонали перпендикулярны, он является ромбом. Но без равенства диагоналей ромб не обязательно квадрат.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник — параллелограмм. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб, а с равными диагоналями — прямоугольник. Ромб, являющийся прямоугольником, — квадрат.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.