530. а) В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ A₁C₁ = 4√2, BD₁ = 4√6. Найдите объём призмы. б) В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ A₁C₁ = 6√2, BD₁ = 2√34. Найдите объём призмы.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Диагональ квадрата равна произведению стороны на \(\sqrt2\). Пространственную диагональ призмы связываем с диагональю основания и высотой по теореме Пифагора.

1. а) Из \(A_1C_1=4\sqrt2\) следует, что сторона основания равна 4. Тогда \(BD=4\sqrt2\), а высота \(h=\sqrt{BD_1^2-BD^2}=\sqrt{(4\sqrt6)^2-(4\sqrt2)^2}=8\). Объём: \(V=4^2\cdot8=128\).
2. б) Из \(A_1C_1=6\sqrt2\) сторона основания равна 6. Тогда \(BD=6\sqrt2\), а высота \(h=\sqrt{(2\sqrt{34})^2-(6\sqrt2)^2}=8\). Объём: \(V=6^2\cdot8=288\).

Ответ: а) 128; б) 288.