54. а) Точка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. 1) Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C. 2) Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если параллелепипед прямоугольный, AB=12, AD=12 и AA₁=6.

1) Доказательство. Введём координаты: A(0,0,0), B(b,0,0), D(0,d,0), A₁(0,0,h). Тогда C(b,d,0), B₁(b,0,h), а M — середина BC, то есть M(b,d/2,0).

Направляющий вектор прямой A₁C равен (b,d,−h). Векторы AB₁=(b,0,h) и AM=(b,d/2,0) задают плоскость AMB₁. Их нормаль пропорциональна (−hd/2,bh,bd/2), скалярное произведение которой с (b,d,−h) равно 0. Следовательно, направление A₁C параллельно плоскости AMB₁.

2) Расстояние. Для b=d=12 и h=6 нормаль плоскости AMB₁ можно взять (−36,72,36), или (−1,2,1). Уравнение плоскости, проходящей через A, имеет вид −x+2y+z=0.

Точка A₁(0,0,6) лежит на прямой A₁C, которая параллельна плоскости, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от A₁ до этой плоскости:

d = |−0+2·0+6|/√(1+4+1) = 6/√6 = √6.

Ответ: 1) A₁C ∥ плоскости AMB₁; 2) √6.