54. б) Точка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. 1) Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C. 2) Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если параллелепипед прямоугольный, AB=8, AD=8 и AA₁=4.

1) Доказательство. Возьмём координаты A(0,0,0), B(b,0,0), D(0,d,0), A₁(0,0,h). Тогда C(b,d,0), B₁(b,0,h), M(b,d/2,0). Направляющий вектор A₁C равен (b,d,−h). Нормаль плоскости AMB₁ пропорциональна (−hd/2,bh,bd/2); её скалярное произведение с направляющим вектором A₁C равно 0. Значит, A₁C параллельна плоскости AMB₁.

2) Расстояние. При b=d=8 и h=4 нормаль плоскости AMB₁ пропорциональна (−1,2,1), и её уравнение: −x+2y+z=0. Точка A₁(0,0,4) принадлежит прямой A₁C, параллельной плоскости. Поэтому расстояние равно расстоянию от A₁ до плоскости:

d = |4|/√(1+4+1) = 4/√6 = 2√6/3.

Ответ: 1) A₁C ∥ плоскости AMB₁; 2) 2√6/3.