54*. Дано: OF — биссектриса ∠AOB, OT ⟂ OF, ∠TOC = 20°. Найти: ∠BOC.

Так как \(OT\perp OF\), угол между лучами OT и OF равен 90°. По рисунку лучи OB и OT лежат по одну сторону от OF, а OC и OT — по одну сторону от луча OC; поэтому \(\angle FOC=90°-20°=70°\).

Лучи OA и OC противоположны, значит \(\angle AOF+\angle FOC=180°\), откуда \(\angle AOF=110°\). Луч OF — биссектриса \(\angle AOB\), поэтому \(\angle FOB=110°\). Лучи расположены так, что \(\angle FOB=\angle FOT+\angle TOB\); при этом \(\angle FOT=90°\), следовательно, \(\angle TOB=20°\).

Тогда \(\angle BOC=\angle BOT+\angle TOC=20°+20°=40°\).

Ответ: 40°.