58*. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов являются противоположными лучами. Сделайте рисунок в тетради.

Пусть две прямые пересекаются в точке O и образуют вертикальные углы ∠AOC и ∠BOD. Обозначим их биссектрисы лучами OE и OF соответственно.

Вертикальные углы равны, поэтому их половины также равны: \(\angle AOE=\angle BOF\). Лучи OA и OB противоположны. При повороте на величину \(\angle AOE\) луч OA переходит в OE, а противоположный ему луч OB — в противоположный луч OF. Следовательно, OE и OF направлены в противоположные стороны и имеют общее начало O.

Значит, биссектрисы вертикальных углов являются противоположными лучами.