543. Докажите, что отношение соответственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть соответствующие стороны подобных треугольников равны a и a′, а высоты, проведённые к ним, — h и h′. Обозначим коэффициент подобия через k. Тогда \(\frac{a}{a'}=k\).

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: \(\frac{S}{S'}=k^2\). С другой стороны, формула площади через сторону и проведённую к ней высоту даёт \(\frac{S}{S'}=\frac{ah/2}{a'h'/2}=\frac{a}{a'}\cdot\frac{h}{h'}\).

Приравнивая выражения для отношения площадей и используя \(\frac{a}{a'}=k\), получаем \(k^2=k\cdot\frac{h}{h'}\). Следовательно, \(\frac{h}{h'}=k=\frac{a}{a'}\).

Доказано: отношение соответственных сторон равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.