56. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°, а его площадь — \(72\sqrt3\) см². Найдите боковую сторону треугольника.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны 30°, поэтому угол между боковыми сторонами равен \(180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\).

Пусть боковая сторона равна \(x\) см. По формуле площади через две стороны и угол между ними:

\(72\sqrt3=\frac12x^2\sin120^\circ=\frac12x^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x^2\sqrt3}{4}\).

Отсюда \(x^2=288\), а поскольку длина положительна, \(x=\sqrt{288}=12\sqrt2\) см.

Ответ: \(12\sqrt2\) см.