56. В таблице 39 приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований: интервалы роста (см) [160; 165) — 5 человек, [165; 170) — 12, [170; 175) — 19, [175; 180) — 25, [180; 185) — 10, [185; 190) — 7, [190; 195] — 2. Определите процент участников, у которых рост попадает в промежуток: а) [x̄ − S; x̄ + S]; б) [x̄ − 2S; x̄ + 2S]; в) [x̄ − 3S; x̄ + 3S], где x̄ — среднее арифметическое, а S — стандартное отклонение.

Данные сгруппированы по интервалам, поэтому точные значения роста участников неизвестны. Для оценки примем середину каждого интервала за рост всех участников этой группы.

Всего участников: \(n=5+12+19+25+10+7+2=80\). Середины интервалов: 162.5; 167.5; 172.5; 177.5; 182.5; 187.5; 192.5 см.

Средний рост:

\[\bar{x}=\frac{5\cdot162.5+12\cdot167.5+19\cdot172.5+25\cdot177.5+10\cdot182.5+7\cdot187.5+2\cdot192.5}{80}=175.75\text{ см}.\]

Дисперсия и стандартное отклонение (по серединам интервалов):

\[D=\frac{\sum n_i(x_i-175.75)^2}{80}=49.4375,\qquad S=\sqrt{49.4375}\approx7.03\text{ см}.\]

Границы промежутков: для пункта а) примерно [168.72; 182.78], для б) [161.69; 189.81], для в) [154.66; 196.84]. Считаем участников по серединам интервалов: соответственно 19+25+10=54; 78; 80.

Ответ: а) примерно 67.5%; б) примерно 97.5%; в) примерно 100%. Это оценки, поскольку таблица не сообщает точный рост каждого участника.