59. Докажите, что если каждое число в заданном наборе увеличить на одну и ту же константу, то дисперсия не изменится.

Пусть исходные числа — \(x_1,\ldots,x_n\), их среднее — \(\bar{x}\), а дисперсия — \(D=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\). Увеличим каждое число на константу \(c\).

Новое среднее равно \(\bar{x}+c\). Тогда отклонение каждого нового числа от нового среднего:

\[(x_i+c)-(\bar{x}+c)=x_i-\bar{x}.\]

Все отклонения и их квадраты остались прежними, поэтому их среднее также не изменилось: \(D_{\text{нов}}=D\).

Дисперсия не изменится.