60. Докажите, что если каждое число в заданном наборе умножить на одну и ту же константу, то дисперсия умножится на квадрат этой константы.

Пусть исходные числа — \(x_1,\ldots,x_n\), среднее — \(\bar{x}\), дисперсия — \(D=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\). Умножим каждое число на константу \(k\).

Новое среднее равно \(k\bar{x}\). Отклонение нового числа от нового среднего составляет \(kx_i-k\bar{x}=k(x_i-\bar{x})\). Поэтому

\[D_{\text{нов}}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\bigl(k(x_i-\bar{x})\bigr)^2=k^2D.\]

Дисперсия умножится на квадрат константы.