560. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если развертка его боковой поверхности является сектором с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Пусть угол сектора равен \(\beta\), а угол при вершине осевого сечения — \(2\alpha\). Радиус основания конуса равен радиусу сектора, поэтому \(\sin\alpha=\frac{\beta}{360^\circ}\).

1. При \(\beta=180^\circ\): \(\alpha=30^\circ\), поэтому угол при вершине равен \(2\alpha=60^\circ\).
2. При \(\beta=90^\circ\): \(\alpha=\arcsin\frac14\approx14^\circ28'\), поэтому угол при вершине равен примерно \(28^\circ57'\).
3. При \(\beta=60^\circ\): \(\alpha=\arcsin\frac16\approx9^\circ35'\), поэтому угол при вершине равен примерно \(19^\circ11'\).

Ответ: а) 60°; б) примерно 28°57′; в) примерно 19°11′.