562. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $$n$$, тогда следующее за ним будет $$n+1$$. Их произведение равно $$n(n+1)$$, а их сумма равна $$n + (n+1) = 2n+1$$. Из условия получаем:

$$n(n+1) = 2n+1 + 109$$
$$n^2 + n = 2n + 110$$
$$n^2 - n - 110 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4*1*(-110) = 1 + 440 = 441$$
$$n_1 = \frac{1+\sqrt{441}}{2} = \frac{1+21}{2} = 11$$
$$n_2 = \frac{1-\sqrt{441}}{2} = \frac{1-21}{2} = -10$$

Поскольку число должно быть натуральным, то $$n = 11$$. Тогда второе число $$n+1 = 12$$.

Проверка: $$11 * 12 = 132$$. $$11 + 12 = 23$$. $$132 - 23 = 109$$. Условие выполняется.

Ответ: Эти числа 11 и 12.