565. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один из катетов равен 5 см. Найдите другой катет и площадь треугольника.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть $$a$$ и $$b$$ – катеты, а $$c$$ – гипотенуза. По условию задачи $$c=13$$, а один катет, например $$a=5$$. Тогда, используя теорему Пифагора, находим второй катет $$b$$:

$$a^2 + b^2 = c^2$$
$$5^2 + b^2 = 13^2$$
$$25 + b^2 = 169$$
$$b^2 = 169 - 25$$
$$b^2 = 144$$
$$b = \sqrt{144}$$
$$b = 12$$

Итак, второй катет равен 12 см. Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} * 5 * 12 = \frac{60}{2} = 30$$

Ответ: Второй катет равен 12 см, а площадь треугольника равна 30 см².