570. Упростить выражение: 1) \(\frac{\sin(\frac{3\pi}2+\alpha)}{\operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)}\cdot\frac{\operatorname{tg}(\frac\pi2+\alpha)}{\sin(\pi+\alpha)}\); 2) \(\frac{\sin^2(\pi+\alpha)+\sin^2(\frac\pi2+\alpha)}{\cos(\frac{3\pi}2+\alpha)}\cdot\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}2-\alpha)\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем формулы приведения: \(\sin(\frac{3\pi}2+\alpha)=-\cos\alpha\), \(\operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha\), \(\operatorname{tg}(\frac\pi2+\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha\), \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\).
Тогда выражение равно \(\frac{-\cos\alpha}{-\operatorname{ctg}\alpha}\cdot\frac{-\operatorname{ctg}\alpha}{-\sin\alpha}=\sin\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=\cos\alpha\).
\(\sin^2(\pi+\alpha)+\sin^2(\frac\pi2+\alpha)=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Также \(\cos(\frac{3\pi}2+\alpha)=\sin\alpha\), \(\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}2-\alpha)=\operatorname{tg}\alpha\).
Получаем \(\frac{1}{\sin\alpha}\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\).

Ответ: 1) \(\cos\alpha\); 2) \(\frac{1}{\cos\alpha}\).