576. Решить уравнение: 1) cos² 2x = 1 + sin² 2x; 2) 4 cos² x = 3; 3) 2 cos² x = 1 + 2 sin² x; 4) 2√2 cos² x = 1 + √2; 5) (1 + cos x)(3 − 2 cos x) = 0; 6) (1 − cos x)(4 + 3 cos 2x) = 0; 7) (1 + 2 cos x)(1 − 3 cos x) = 0; 8) (1 − 2 cos x)(2 + 3 cos x) = 0.

Во всех пунктах k ∈ ℤ. Используем sin² t + cos² t = 1 и разложение произведения на случаи.

1. 1 − sin² 2x = 1 + sin² 2x, откуда sin 2x = 0. Значит, x = πk/2.
2. cos x = ±√3/2. Значит, x = πk ± π/6.
3. Подстановка sin² x = 1 − cos² x даёт 4 cos² x = 3. Значит, x = πk ± π/6.
4. cos² x = (2 + √2)/4 = cos²(π/8). Значит, x = πk ± π/8.
5. cos x = −1 или cos x = 3/2. Второй случай невозможен, поэтому x = π + 2πk.
6. cos x = 1 или cos 2x = −4/3. Второй случай невозможен, поэтому x = 2πk.
7. cos x = −1/2 или cos x = 1/3. Поэтому x = 2πk ± 2π/3 или x = 2πk ± arccos(1/3).
8. cos x = 1/2 или cos x = −2/3. Поэтому x = 2πk ± π/3 или x = 2πk ± arccos(−2/3).