6. (1 балл) Решите неравенство: 9^(2x+3) ≤ 81^(4x-1).

Решение:

1. Приведём обе части неравенства к одному основанию. Так как \( 81 = 9^2 \), то можно представить правую часть как \( (9^2)^{4x-1} \).
2. \( 9^{2x+3} \le (9^2)^{4x-1} \)
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
4. \( 9^{2x+3} \le 9^{2(4x-1)} \)
5. \( 9^{2x+3} \le 9^{8x-2} \)
6. Поскольку основание степени \( 9 > 1 \), приравниваем показатели степени, сохраняя знак неравенства:
7. \( 2x + 3 \le 8x - 2 \)
8. Решаем линейное неравенство:
• \( 3 + 2 \le 8x - 2x \)
• \( 5 \le 6x \)
• \( x \ge \frac{5}{6} \)

Ответ: \( x \ge \frac{5}{6} \).