6. (1 балл) Решите неравенство: 9^(2x+3) ≤ 81^(4x-1).

Решение:

1. Приведем обе части неравенства к одному основанию. Так как \( 81 = 9^2 \), можем переписать неравенство как: \( 9^{2x+3} \le (9^2)^{4x-1} \)
2. Упростим правую часть, используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 9^{2x+3} \le 9^{2(4x-1)} \)
3. \( 9^{2x+3} \le 9^{8x-2} \)
4. Так как основание степени \( 9 > 1 \), при переходе от показателей степеней знак неравенства сохраняется: \( 2x + 3 \le 8x - 2 \)
5. Решаем линейное неравенство: \( 3 + 2 \le 8x - 2x \)
6. \( 5 \le 6x \)
7. \( x \ge \frac{5}{6} \)

Ответ: \( x \ge \frac{5}{6} \).