9. (1 балл) Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 5 см. Найдите длину наклонной, проведенной из этой точки, если она образует с плоскостью угол 45°.

Решение:

1. Пусть \( AO \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( A \) на плоскость, \( AO = 5 \) см.
2. Пусть \( AB \) — наклонная, проведенная из точки \( A \) к плоскости.
3. Угол между наклонной \( AB \) и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость, то есть \( \angle ABO = 45^{\circ} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABO \) (угол \( \angle AOB = 90^{\circ} \)).
5. В этом треугольнике нам известен катет \( AO \) (противолежащий углу \( \angle ABO \)) и нужно найти гипотенузу \( AB \).
6. Используем синус угла: \( \sin(\angle ABO) = \frac{AO}{AB} \)
7. Подставим известные значения: \( \sin(45^{\circ}) = \frac{5}{AB} \)
8. Так как \( \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{AB} \)
9. Выразим \( AB \): \( AB = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \)
10. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \) для избавления от иррациональности в знаменателе: \( AB = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см.