9. (1 балл) Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 5 см. Найдите длину наклонной, проведенной из этой точки, если она образует с плоскостью угол 45°.

Решение:

1. Пусть \( AB \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( A \) на плоскость, тогда \( AB = 5 \) см.
2. Пусть \( AC \) — наклонная, проведенная из точки \( A \) к плоскости.
3. Угол между наклонной \( AC \) и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией на плоскость. Обозначим проекцию как \( BC \).
4. По условию, угол \( \angle ACB = 45^{\circ} \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) (угол \( B = 90^{\circ} \)).
6. В этом треугольнике \( AB \) — катет, противолежащий углу \( 45^{\circ} \), а \( AC \) — гипотенуза.
7. Используем соотношение синуса: \( \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} \).
8. \( \sin(45^{\circ}) = \frac{5}{AC} \).
9. Так как \( \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:
10. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{AC} \).
11. Выразим \( AC \):
12. \( AC = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \).
13. Рационализируем знаменатель:
14. \( AC = \frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \).

Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см.