6.18. Сколько существует шестизначных чисел, у которых А) третья цифра — 5? Б) последняя цифра — чётная? В) на нечётных местах стоят нечётные цифры? Г) на нечётных местах стоят чётные цифры?

Решение:

Шестизначное число имеет вид \( abcdef \).

А) Третья цифра — 5:

• Первая цифра (a) может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов).
• Вторая цифра (b) может быть любой от 0 до 9 (10 вариантов).
• Третья цифра (c) строго равна 5 (1 вариант).
• Четвертая, пятая и шестая цифры (d, e, f) могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов каждая).

Количество таких чисел: \( 9 \times 10 \times 1 \times 10 \times 10 \times 10 = 90 000 \).

Б) Последняя цифра — чётная:

• Первая цифра (a) может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов).
• Вторая, третья, четвертая и пятая цифры (b, c, d, e) могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов каждая).
• Последняя цифра (f) должна быть чётной (0, 2, 4, 6, 8) (5 вариантов).

Количество таких чисел: \( 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 9 \times 10^4 \times 5 = 450 000 \).

В) На нечётных местах стоят нечётные цифры:

• Нечётные места — это 1-е, 3-е, 5-е. Нечётные цифры — 1, 3, 5, 7, 9 (5 вариантов).
• Первая цифра (a) — нечётная (5 вариантов).
• Вторая цифра (b) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).
• Третья цифра (c) — нечётная (5 вариантов).
• Четвертая цифра (d) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).
• Пятая цифра (e) — нечётная (5 вариантов).
• Шестая цифра (f) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).

Количество таких чисел: \( 5 \times 10 \times 5 \times 10 \times 5 \times 10 = 5^3 \times 10^3 = 125 \times 1000 = 125 000 \).

Г) На нечётных местах стоят чётные цифры:

• Нечётные места — это 1-е, 3-е, 5-е. Чётные цифры — 0, 2, 4, 6, 8 (5 вариантов).
• Первая цифра (a) — чётная, но не 0 (2, 4, 6, 8) (4 варианта).
• Вторая цифра (b) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).
• Третья цифра (c) — чётная (0, 2, 4, 6, 8) (5 вариантов).
• Четвертая цифра (d) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).
• Пятая цифра (e) — чётная (0, 2, 4, 6, 8) (5 вариантов).
• Шестая цифра (f) — любая от 0 до 9 (10 вариантов).

Количество таких чисел: \( 4 \times 10 \times 5 \times 10 \times 5 \times 10 = 4 \times 5^2 \times 10^3 = 4 \times 25 \times 1000 = 100 \times 1000 = 100 000 \).

Ответ: А) 90 000; Б) 450 000; В) 125 000; Г) 100 000.