6) 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 5 = 0

Question

$Фото задания: 6) 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 5 = 0$ Фото задания

Accepted Answer

Перепишем уравнение:

$ 2 · 5^{2x} · 5^1 - 245 · 5^x - 5 = 0 $

$ 10 · (5^x)^2 - 245 · 5^x - 5 = 0 $

Пусть $ y = 5^x $. Тогда уравнение примет вид:

$ 10y^2 - 245y - 5 = 0 $

Разделим на 5:

$ 2y^2 - 49y - 1 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = (-49)^2 - 4 · 2 · (-1) = 2401 + 8 = 2409 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{2409} $ — не является целым числом, вероятно, в условии ошибка.

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^{x+1} - 5 = 0 $:

$ 10 · y^2 - 245 · 5y - 5 = 0 $

$ 10 y^2 - 1225 y - 5 = 0 $

$ 2 y^2 - 245 y - 1 = 0 $

$ D = 245^2 - 4(2)(-1) = 60025 + 8 = 60033 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x} - 245 · 5^x - 5 = 0 $:

$ 2y^2 - 245y - 5 = 0 $

$ D = 245^2 - 4(2)(-5) = 60025 + 40 = 60065 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 50 = 0 $:

$ 10y^2 - 245y - 50 = 0 $

$ 2y^2 - 49y - 10 = 0 $

$ D = 49^2 - 4(2)(-10) = 2401 + 80 = 2481 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 250 · 5^x - 5 = 0 $:

$ 10 y^2 - 250 y - 5 = 0 $

$ 2 y^2 - 50 y - 1 = 0 $

$ D = 50^2 - 4(2)(-1) = 2500 + 8 = 2508 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^{x+1} - 50 = 0 $:

$ 10y^2 - 1225y - 50 = 0 $

$ 2y^2 - 245y - 10 = 0 $

$ D = 245^2 - 4(2)(-10) = 60025 + 80 = 60105 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 5 = 0 $ с $ y=5 $:

$ 2 · 5^3 - 245 · 5 - 5 = 2 · 125 - 1225 - 5 = 250 - 1225 - 5 = -980 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 250 · 5^{x+1} - 5 = 0 $:

$ 10 y^2 - 1250 y - 5 = 0 $

$ 2 y^2 - 250 y - 1 = 0 $

$ D = 250^2 - 4(2)(-1) = 62500 + 8 = 62508 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 250 · 5^x - 50 = 0 $:

$ 10y^2 - 250y - 50 = 0 $

$ y^2 - 25y - 5 = 0 $

$ D = 25^2 - 4(1)(-5) = 625 + 20 = 645 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 5 = 0 $ с $ y=1/5 $:

$ 2 · 5^1 - 245 · 5^{-1} - 5 = 10 - 245/5 - 5 = 10 - 49 - 5 = -44 $

Если предположить, что $ 2 · 5^{2x+1} - 245 · 5^x - 5 = 0 $ с $ y = 50 $:

$ 10 · 50^2 - 245 · 50 - 5 = 10 · 2500 - 12250 - 5 = 25000 - 12250 - 5 = 12745 $

Ответ: В условии, вероятно, ошибка, так как дискриминант не является полным квадратом.