Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике АВС (\( \angle A = 90^\circ \)) \( \angle B = 60^\circ \), значит \( \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD (\( \angle ADB = 90^\circ \)). \( \angle B = 60^\circ \). Тогда \( \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
В прямоугольном треугольнике ABD:
\( BD = 3 \) см.
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике ABD катет \( AD \) лежит против угла \( 60^\circ \), а катет \( BD \) лежит против угла \( 30^\circ \) в треугольнике ABC, но в треугольнике ABD он лежит против угла \( \angle BAD = 30^\circ \).
Значит, \( AB = 2 · BD = 2 · 3 = 6 \) см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Угол \( C = 30^\circ \). Гипотенуза \( AB = 6 \) см. Катет \( AC \) лежит против угла \( 60^\circ \), а катет \( BC \) лежит против угла \( 90^\circ \).
Найдем катет \( AC \), который лежит против угла \( 60^\circ \):
\[ AC = AB · · \sin(60^\circ) = 6 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 3·\sqrt{3} \text{ см}. \]
Найдем катет \( BC \), который лежит против угла \( 90^\circ \):
\[ BC = AB · · \sin(30^\circ) = 6 · \frac{1}{2} = 3 \text{ см}. \]
Мы получили, что \( BC = 3 \) см. Но мы ранее нашли, что \( BD = 3 \) см. Это означает, что точка D совпадает с точкой C, что возможно только если \( \angle B = 90^\circ \). Однако по условию \( \angle B = 60^\circ \) и \( \angle A = 90^\circ \). Следовательно, \( \angle C = 30^\circ \).
В прямоугольном треугольнике ABD:
\[ \tan(60^\circ) = \frac{AD}{BD} \implies AD = BD · \tan(60^\circ) = 3 · · \sqrt{3} = 3·\sqrt{3} \text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике ABC:
\[ \tan(60^\circ) = \frac{AC}{AB} \]
А также \( BC = BD + DC \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (\( \angle ADC = 90^\circ \)). \( \angle C = 30^\circ \).
\( AD = 3·\sqrt{3} \text{ см}. \)
Катет \( DC \) лежит против угла \( 30^\circ \) в треугольнике ADC.
\[ \tan(30^\circ) = \frac{AD}{DC} \]
\[ DC = · \frac{AD}{\tan(30^\circ)} = · \frac{3·\sqrt{3}}{1/·\sqrt{3}} = 3·\sqrt{3} · \sqrt{3} = 3 · 3 = 9 \text{ см}. \]
Ответ: 9 см.
