№6 (3 б.). Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведенная к ней, равна 6 см. Найти основание треугольника.

Пусть равные боковые стороны равны 8 см, а основание — \(x\). Медиана к боковой стороне делит её пополам, поэтому отрезки этой стороны равны 4 см.

Применим теорему Аполлония для медианы длиной 6 см, проведённой к стороне длиной 8 см:

\(6^2+\frac{8^2}{4}=\frac{2x^2+2\cdot8^2}{4}\).

\(36+16=\frac{2x^2+128}{4}\), откуда \(52=\frac{x^2}{2}+32\), следовательно, \(x^2=40\).

Длина основания положительна, значит \(x=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{10}\) см.