6. (3 б) Обчисліть значення виразу: 8 tg 11π + sin \( \frac{43\pi}{4} \) + cos \( \frac{21\pi}{4} \)

Решение:

1. Вычислим \( \text{tg } 11\pi \). Тангенс имеет период \( \pi \), поэтому \( \text{tg } 11\pi = \text{tg } 0 = 0 \).
2. Вычислим \( \sin \frac{43\pi}{4} \). \( \frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4} \). Синус имеет период \( 2\pi \), поэтому \( \sin(10\pi + \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Вычислим \( \cos \frac{21\pi}{4} \). \( \frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \). Косинус имеет период \( 2\pi \), поэтому \( \cos(5\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

\( 8 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \).

Ответ: 0.